論衝裝之：強化機率率到底可不可信?(含數值模擬結果)

相信很多人在強化裝備時，總是滿心期待能夠上20、25、27、甚至MAX

這個遊戲用到非常多的機率運算，說他是一個機率遊戲也不為過

但是機率這個東西究竟能不能精準計算?能不能有一個統計值?

這個答案要看你從什麼角度下去回答

舉個例子，我們都知道擲一枚銅板正面跟反面的機率是1/2(其實不一定對，硬幣兩面印花不同，重量就不同，因此不是完美的1：1)

換個更容易懂的說法，也就是如果有10000個人同時丟一枚銅板

那麼正面跟反面差不多會有5000人：5000人

丟銅板的次數如果趨近於無限次，那就會得到1：1的結果

但是，有10000個人丟銅板，有沒有可能全部都是正面，或是全部都是反面?

答案是機率不等於零，也就是有此可能

所以你說要精準計算出1：1的結果可行，但是10000個人同時丟出正面機率也不等於零

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

舉個例子，+19衝到+20的機率是35%，這個敘述句可以換個問法

如果要把+19的武器衝到+20，然後要有35%的機率，那麼需要強化幾次?要有多少張白捲?

這個問題的答案很簡單，你只要打開鐵匠鋪強化就知道了

就是強化一次，需要4張白捲

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

問上面這個問題是想因我想引出接下來討論

常常看到版上有些人PO出+17不上防爆連用白捲過衝上+20

這個機率也很簡單計算，既然是連過的話

那就是 p = 0.4 x 0.35 x 0.35 x 100% = 4.9%

也就是100個人有+17的武器，官方送12張白卷，平均只有4.9個人可以點上+20

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

好了，由上面的討論，我們可以簡單地知道，非洲人口是一定大於歐洲人口的

這個其實就是官方所說的，重點是強化次數

如果明天遊戲改版，上線獎勵是100萬張白捲，而且衝裝不用錢

那麼只要"次數夠多"就一定會有"非常高的機率"可以讓你有"某一次"當歐皇連過從+0衝到+30

注意這邊，非常高的機率並不是100%，頂多99.99999999999999%

但是有沒有可能一百萬張卷全部都失敗，前面我們討論過了，機率非常低，但"不等於零"

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

相信到這邊大家已經了解我想表達什麼了

同上面的討論，問題應該是，我+19衝到+20、上馬夫，只衝一次過的機率是35%的話

反過來看就會有65%的機率失敗，但因為上了馬夫，所以卷軸的數量只要夠，就一定可以點上+20

有4張白捲、強化1次過的機率是35%

有8張白捲、強化2次過的機率是50%(機率為假設)

有12張白捲、強化3次過的機率是75%(機率為假設)

依此類推...

那麼我如果要把機率提升到90%過，那麼需要多少張白捲?

這個問題是高中數學，需要計算 log 函數，但這邊就不進行這種枯燥的數學計算

因為高中的這個題型機率是固定的，而遊戲中+0~+30的機率是不一樣的

再者，我們還需要統計強化張數、馬夫使用量、金幣等等其他數據

因此用手算起來會非常的複雜

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

因此我們仰賴另一種方式，就是電腦數值運算

這邊先簡單介紹一下程式碼，如果不想看可以直接跳到下面看結論

一.先把常用的參數拉到程式最上邊，方便不同情形下的修改

衝裝有四種：白捲不上馬夫、白捲上馬夫、祝卷裸衝以及祝卷上馬夫，這邊其實就是透過0跟1來當開關，分別跑不同的 Supoutine(副程式)，以達到我們要的模擬效果

二.如果有人要問我電腦配備的話，CPU是5820K，顯卡是GTX 970

不過由於我本身電腦還我再跑其他模擬及數值運算，因此此次的模式是由單晶片系統來運行，

透過 USB I/O port 來接收結果，只要程式碼對，結論都一樣就是了

三.主程式，這邊如同第一點說，將不同的參數呼叫對應的第1個副程式執行之

至於為什麼要這麼做原因很簡單，白捲+1、祝卷+3，同時還有上不上馬夫的問題，上了馬夫失敗不會減少強化等級，而不上馬夫則會，共有四種情形。這邊還有用到 C 語言當中的指標運算，簡單介紹一下指標就是把變數的記憶體位址丟給副程式，但是副程式運算之後變數不會改變，所以還要用到另一種演算法叫做 Call by value、Call by address、Call by value resule...之前考高考的時候念的，有點忘記正確是哪一個了，如果有資工的歡迎指導

四.經過上一步的參數分析後，就看我們是用白捲還是祝卷，有沒有上馬夫，再呼叫第2個衝裝副程式，總共有四種，這邊只介紹一種，就是祝卷+馬夫

這邊一樣是用指標運算，把指標丟來丟去得到我們要的結果，但如同我文章開頭說的，隨著+0衝到+30，衝裝的機率、卷軸數量、馬夫、金幣都是不同的，因此這個副程式在衝裝迴圈當中會一直重複呼叫 chance 函數，也就是抓取 chance 函數當中往下一級強化的機率(p)、卷軸數量(num)、馬夫(horse)、金幣(cost)值，然後看衝幾次就把結果累加起來，最後達到我們要的衝裝值時，就可以看總共衝了幾次裝、花了多少卷軸、馬夫用幾顆、金幣花了多少

五.這邊為上述 chance 函數，不同強化等級要往下一個等級衝，所需要的參數值, 從+0~+30總共有31筆資料

至於你說為什麼不直接用網頁上的衝裝模擬器來點? 因為網頁上的衝裝模擬器還有動畫，如果需要衝10000次你不就點一個禮拜不能休息..這邊最後再標註一下，函式中 s 代表目前強化等級，p、num、horse、cost 則代表要往下個強化等級衝之成成功機率、馬夫數量、花費金幣

六.這邊可以不看了，這邊只是單晶片系統跟PC間的溝通，直接呼叫函式即可

我再撰寫這個程式的時候，為了可以即時看到目前的強化值，所以有設計了即時 USB I/O 通訊的功能，但是開啟即時衝裝回報的話，整體來說就會跑得非常慢，雖然 CPU 算很快，但是 I/O 傳輸速度卻比不上 CPU 運算速度，就會變成 I/O bounded job，整體受限於 I/O 傳輸效能(這部分比較屬於計算機概論了，想知道可以 Google：范紐曼瓶頸)，因此我再跑的時候是關 I/O 回報的

到這邊為止，我們的自動衝裝模擬器已經建構完畢，剩下就是開始跑數值模擬了！

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

開始模擬，如果你跳過講解程式的部分請直接從這邊往下看

我的程式整體架構是這樣的：

1.設定一個衝裝初始值and衝裝最後值

2.設定是白捲還是祝卷

3.設定上不上馬夫

在卷軸、防爆、金幣無限的情況下，衝到大於或等於我們要的值才停止，並且回報衝了幾次裝(i)、花了幾張卷軸(num)、用了幾顆馬夫(horse)、以及花多少金幣(cost)，在遊戲中很難取的祝卷跟馬石，對電腦來說也只是一個無號整數變數所儲存的一個值、也就是0跟1的訊號、也就是記憶體中高電位跟低電位、也就是電腦公司所租伺服器磁碟的高磁場跟低磁場，因此我們要多少資源就有多少資源！

前面有說過，由於機率越多次才可以趨近理論結果，但礙於篇幅這邊先取簡單模擬5次所得的平均

a1.一開始來個簡單的，如果要從【+0~+10】且使用【白捲裸衝】，需要的參數如下

這個階段最簡單，各位可以去用網站上的衝裝模擬器來點，看數據是否接近，亦或是課長已經MAX、手邊還有多餘500張白卷，可以幫大家在遊戲中驗證

a2.再來同樣是【+0~+10】，這次換成【祝卷裸衝】，資料如下

到這邊我們可以發現，只要換成祝卷，雖然沒上馬夫，但+0~+2成功率為100%，必跳+1~+3，故強化次數下降非常多，但是花費台幣卻大幅上升了XD

a3.【+0~+10】【白捲+馬夫】

跟白捲裸衝相比，由於上了馬夫失敗不會下降的關係, 平均衝裝次數由40.4次降到13.6次, 但還是比不上祝卷裸衝10.2次！

a4.【+0~+10】【祝卷+馬夫】

由於祝卷會跳+1~+3，加上上馬夫不會-1，因此衝裝次數最少，這個模擬結果跟我們認知相同！

(做模擬時需要觀察結果值，如果用祝卷防爆，衝裝次數會大於白捲裸衝，就表示程式有 Bug 需要維修)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

接下來是+10衝+20的結果，這個區間應該卡最多人，上+20是一的大門檻

b1.【+10~+20】【白捲裸衝】

到這邊你幾乎可以發現白捲裸衝要上+20幾乎是不可能的了....卷軸都要千張為單位，就算你是長期壓等卷軸給你5000張好了，你也沒那麼多金幣可以衝，不過這邊其實也可以看出歐洲人跟非洲人的差別，運氣最好的是強化411次，最差強化到2000次，像我前面說的，其實模擬越多組的平均會越準，好比說10000次模擬結果平均值，由於寫這個 code 已經花了我空閒時間3天了

，更大的數據就要在主程式外圍加一個迴圈，讓他跑10000次自行平均統計，其強化值x衝到強化值y所需的衝裝資源，應該會呈現一個高斯分布，高斯分布山頂所對應的資料值，就是整個遊戲的平均值

b2.【+10~+20】【祝卷裸衝】

我相信這邊還是有大課長可以達成的！

b3.【+10~+20】【白捲+馬夫】

雖然努力龜馬夫可以達成，但是不如把馬夫放到+23以後衝+30 CP 值更高！

b4.【+10~+20】【祝卷+馬夫】

我想不會有人+10就用祝卷，+11~+12上馬夫，那結果很簡單，數據就是介於圖b1~b4四種數據之間。很意外地，居然有一個4次的，大概就是+2+2+3+3吧...也就是常在巴哈發文的超級歐洲人

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

c1.【+20~+30】【白捲裸衝】

+20衝+30當然沒有人會用白捲裸衝，這只是單純看看數據，光是強化次數就要20000多次了，現在各伺服器第一名的大課長強化次數也還沒超過10000吧...而且金幣須要10億！大概玩到遊戲倒了也沒辦法

c2.【+20~+30】【祝卷裸衝】

這部分我相信還是有大課長可以完成的，注意最後等級31或32是只28或是29時點祝卷跳+2或+3，在遊戲中會直接顯示MAX

c3.【+20~+30】【白捲+馬夫】

這邊也是提供個數據給大家看看，用這種衝法花費的馬夫數量實在驚人，何況這只是衝一件裝呢！

c4.【+20~+30】【祝卷+馬夫】

一般通常衝到+23或是+24甚至是+25開始上馬夫，所需資源會介於圖c1~c4之間，當然這個要跑模擬也行，只是就要再改 code 另設條件讓他跑了

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

題外話，小弟武器從+17爆回+10後，歷經千辛萬苦終於又點回+17

也終於在兩個禮拜前靠著三次白捲+馬夫 p = 0.4 x 0.35 x 0.35 x 100% = 4.9% 的機率當一次歐洲人了...

但是+20後才發現根本無法脫離+20/+21地獄，而且衝一次就要6萬6，一下子就當乞丐了...

上20後有人建議+24或是+25再用祝武+馬石

不過小弟是建議+23就開始用祝武馬伕了

這邊有跑了一點數據分析

d1.【+20~+23】【白捲裸衝】

d2.【+20~+24】【白捲裸衝】

可以發現裸衝+23跟+24平均所花費的金額差非常多，當然你如果是大課長，或是像+24第五組模擬一樣，只要6次就可以上，那就沒什麼差別了。但如果是一般玩家的話，這幾百萬可以做很多事情呢，何況你如果是非洲玩家，像+24第四組一樣，需要花到867萬才能點上+24呢...強化多+1戰鬥力就多個幾千，但是省下500萬可以讓你合很多裝去超越，我相信這樣平均戰鬥力才會比較高吧！

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

到這邊全部重要的數據都PO上來了，當然我相信只跑5次平均還是有點太少的，之後要更大數據的部分就我有時間再寫了...最後，這邊必須要註明，程式中所使用的機率，是1~100出現的機率各是1%，如果遊戲中的衝裝演算法不是這麼寫的話，那就沒人可以知道了，好比說在某個條件下呼叫一個特殊副程式之類的...程式經過 Compiler(編譯) 後，成為 Object code，這中間有經過：語彙分析→語法分析→語意分析→最佳化→生成目的碼等動作，這是一個

不可逆的動作，因此如要知道官方的演算法是不是"特別"演算法，只能從內部開發人員那邊拿到程式原始碼，或是請高手去分析網路封包，像當時二戰在破解迷密碼機一樣了吧！

數據+0~+10的部份各位可以到網站上的衝裝模擬器驗證，如果發現我的數據偏差太大可以告知我，而從+10~+30的數據雖說只有5組平均，但是也有其參考的價值，因為衝裝的次數夠多，電腦所產生的隨機變數夠平均，所以不難從+0~+10、+10~+20、+20~+30這三個區間看出，每個區間所耗的資源都是不同層級。萬組以上的大數據模擬，看能不能在下次改版前完成(希望)，希望大家都能夠衝裝順利

最後的最後，本人是從事電子電路產業的，並非資工或資訊本科系的，寫程式是我的興趣，僅以此興趣與各位大大分享，如有錯誤，或是觀念不正確，也歡迎大家多多指教，感謝！

參考來源